Forschungseinheit Dynamische Systeme
Technische Universität MünchenForschungseinheit
    Dynamische SystemeFakultät Mathematik

Lehrstuhl für Höhere Mathematik und Analytische Mechanik

Arbeitsgruppe Dynamische Systeme und Analytische Mechanik

 Dynamische Systeme und Analytische Mechanik (Prof. Scheurle)
 
Ideen und Konzepte aus der mathematischen Theorie dynamischer Systeme sind höchst nützlich zur Modellierung und Analyse von vielen Evolutionsprozessen in den Naturwissenschaften, in der Technik und in der Wirtschaft. Beispiele sind Bewegungen von Himmelskörpern und anderen mechanischen Systemen, chemische Reaktions-Diffusionsprozesse, Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen, Musterbildungsprozesse in diversen Medien, Schwingungen von elastischen Materialien, Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen sowie die zeitliche Entwicklung von biologischen Populationen oder Wirtschaftsmärkten. Der Arbeitsschwerpunkt der Gruppe liegt im Bereich der Analyse des qualitativen Verhaltens der Lösungen von Differentialgleichungsmodellen. Im Vordergrund der Untersuchungen stehen Stabilitäts-, Bifurkations- und Störungseigenschaften von Lösungen sowie die Interpretation für die dadurch beschriebenen dynamischen Prozesse, insbesondere hinsichtlich des Langzeitverhaltens und des Auftretens von Phänomenen wie Chaos bzw. Turbulenz.

Neben Beiträgen zur grundlegenden mathematischen Theorie werden derzeit die folgenden konkreten Modellprobleme aus dem erwähnten Themenkreis studiert (die verantwortlichen Mitarbeiter stehen in Klammern):

  • Lagrangesche bzw. Hamiltonsche Bewegungsgleichungen für Mehrkörpersysteme, Navier-Stokesgleichungen (Dr. Denzler; siehe "A Study of the Spectral Theory of the Orr-Sommerfeld Equations for Plane Couette Flow", Habilitationsschrift, TU München 2000),
  • Euler- bzw. gemittelte Eulergleichungen der Strömungsmechanik (Dr. Kruse),
  • Dynamik von Formgedächtnismaterialien im Rahmen der Thermoviskoelastizitätstheorie mit Anwendungen in der Medizintechnik (Dr. Zimmer),
  • Nicht-Newtonsche bzw. viskoelastische Flüssigkeiten (Dr. Hagen),
  • Isingmodelle - Differenzen-Differentialgleichungssysteme auf Gittern - zur Beschreibung der Dynamik von Spinketten in magnetischen Substanzen (Dr. Johann).
  • Ferner werden Methoden bzw. Algorithmen zur Simulation, Visualisierung und Kontrolle des Verhaltens dynamischer Systeme entwickelt und auf Computern implementiert.

Magnetismus im Kristall: "Kink-Lösungen" des eindimensionalen Ising-Modells beschreiben die Dynamik von Magnetisierungsbereichen in CsCoCl3 bei tiefen Temperaturen. Die magnetisch aktiven Co2+-Ionen (rot) sind als lineare Ketten angeordnet, die durch größere Cs+-Ionen (blau) getrennt werden.

Invariante Mannigfaltigkeiten des Lorenzsystems: Dieses Modell wurde von E.N. Lorenz vorgeschlagen, um die Schwierigkeit einer längerfristigen Wettervorhersage zu verdeutlichen. Für Anfangspunkte auf der stabilen Mannigfaltigkeit (rot) ist das zeitlich asymptotische Verhalten stationär. Für alle anderen Startwerte ist es chaotisch und folgt der instabilen Mannigfaltigkeit (blau).

Invariantes Maß auf einem symmetrischen Attraktor: Unterschiedliche Farben entsprechen unterschiedlichen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Lösungen.


Letzte Änderung: 06-Jun-2008 (12:03), S. Schmitz